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当$ln x-1 lt 0$，即$0 lt x lt e$时，$fleft(xright)=1-ln x$。

导数为${f'}left(xright)=-frac{1}{x}$，可得$fleft(xright)$在在点$M(x_{1}$，$f(x_{1}))$处的切线的方程为$y-(1-ln x_{1})=-frac{1}{{x}_{1}}(x-x_{1})$。

可得$P(0$，$2-ln x_{1})$，且$2-ln x_{1} gt 0$；当$ln x-1 gt 0$。

即$x gt e$时，$fleft(xright)=ln x-1$，导数为${f'}left(xright)=frac{1}{x}$。

可得$fleft(xright)$在在点$N(x_{2}$，$f(x_{2}))$处的切线的方程为$y-(ln x_{2}-1)=frac{1}{{x}_{2}}(x-x_{2})$，可得$Q(0$。

$ln x_{2}-2)$，且$ln x_{2}-2 lt 0$，由两条切线互相垂直。

可得$-frac{1}{{x}_{1}}cdot frac{1}{{x}_{2}}=-1$，即$x_{1}x_{2}=1$，所以$frac{{|{QP}|}}{{|{OQ}|}}=frac{4-ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{2-ln{x}_{2}}=frac{4-ln({x}_{1}{x}_{2})}{2-ln{x}_{2}}=frac{4}{2-ln{x}_{2}}$。

由于$e lt x_{2} lt e^{2}$，可得$1 lt ln x_{2} lt 2$，即$0 lt 2-ln x_{2} lt 1$。

所以$frac{4}{2-ln{x}_{2}} gt 4$，故答案为：$left(4,+infty right)$.。

本文到此结束，希望对大家有所帮助。