如图在同一直角坐标系中抛物线$L_{1}$：$y=ax^{2}+bx+8$与$x$轴交于$A\left(-8,0\right)$和点$C$且经过点$B\left(-2,12\right)$若抛物线$L_{1}$与抛物线$L_{2}$关于$y$轴对称点$A$的对应点为$A'$点$B$的对应点为$B'$.$(1)$求抛物线$L_{2}$的表达式；$(2)$现将抛物线$L_{2}$向下平移后得到抛物线$L_{3}$抛物线$L_{3}$的顶点为$M$抛物线$L_{3}$的对称轴与$x$轴交于点$N$试问：在$x$

想必现在有很多小伙伴对于如图，在同一直角坐标系中，抛物线$L_{1}$：$y=ax^{2}+bx+8$与$x$轴交于$A\left(-8,0\right)$和点$C$，且经过点$B\left(-2,12\right)$，若抛物线$L_{1}$与抛物线$L_{2}$关于$y$轴对称，点$A$的对应点为$A'$，点$B$的对应点为$B'$.$(1)$求抛物线$L_{2}$的表达式；$(2)$现将抛物线$L_{2}$向下平移后得到抛物线$L_{3}$，抛物线$L_{3}$的顶点为$M$，抛物线$L_{3}$的对称轴与$x$轴交于点$N$，试问：在$x$轴的下方是否存在一点$M$，使$\triangle MNA'$与$\triangle ACB'$相似 若存在，请求出抛物线的$L_{3}$表达式；若不存在，说明理由.","title_text":"如图，在同一直角坐标系中，抛物线$L_{1}$：$y=ax^{2}+bx+8$与$x$轴交于$A\left(-8,0\right)$和点$C$，且经过点$B\left(-2,12\right)$，若抛物线$L_{1}$与抛物线$L_{2}$关于$y$轴对称，点$A$的对应点为$A'$，点$B$的对应点为$B'$.$(1)$求抛物线$L_{2}$的表达式；$(2)$现将抛物线$L_{2}$向下平移后得到抛物线$L_{3}$，抛物线$L_{3}$的顶点为$M$，抛物线$L_{3}$的对称轴与$x$轴交于点$N$，试问：在$x$轴的下方是否存在一点$M$，使$\triangle MNA'$与$\triangle ACB'$相似 若存在，请求出抛物线的$L_{3}$表达式；若不存在，说明理由.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图，在同一直角坐标系中，抛物线$L_{1}$：$y=ax^{2}+bx+8$与$x$轴交于$A\left(-8,0\right)$和点$C$，且经过点$B\left(-2,12\right)$，若抛物线$L_{1}$与抛物线$L_{2}$关于$y$轴对称，点$A$的对应点为$A'$，点$B$的对应点为$B'$.$(1)$求抛物线$L_{2}$的表达式；$(2)$现将抛物线$L_{2}$向下平移后得到抛物线$L_{3}$，抛物线$L_{3}$的顶点为$M$，抛物线$L_{3}$的对称轴与$x$轴交于点$N$，试问：在$x$轴的下方是否存在一点$M$，使$\triangle MNA'$与$\triangle ACB'$相似 若存在，请求出抛物线的$L_{3}$表达式；若不存在，说明理由.","title_text":"如图，在同一直角坐标系中，抛物线$L_{1}$：$y=ax^{2}+bx+8$与$x$轴交于$A\left(-8,0\right)$和点$C$，且经过点$B\left(-2,12\right)$，若抛物线$L_{1}$与抛物线$L_{2}$关于$y$轴对称，点$A$的对应点为$A'$，点$B$的对应点为$B'$.$(1)$求抛物线$L_{2}$的表达式；$(2)$现将抛物线$L_{2}$向下平移后得到抛物线$L_{3}$，抛物线$L_{3}$的顶点为$M$，抛物线$L_{3}$的对称轴与$x$轴交于点$N$，试问：在$x$轴的下方是否存在一点$M$，使$\triangle MNA'$与$\triangle ACB'$相似 若存在，请求出抛物线的$L_{3}$表达式；若不存在，说明理由.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

（1）将$Aleft(-8,0right)$，$Bleft(-2,12right)$分别代入$y=ax^{2}+bx+8$中得，$left{begin{array}{l}{a×(-8)^{2}-8b+8=0}{a×(-2)^{2}-2b+8=12}end{array}right.$。

解得，$left{begin{array}{l}{a=-frac{1}{2}}{b=-3}end{array}right.$，$therefore $抛物线$L_{1}$的解析式为$y=-frac{1}{2}{x}^{2}-3x+8=-frac{1}{2}(x+3)^{2}+frac{25}{2}$。

则：顶点为$(-3$，$frac{25}{2})$，$because $抛物线$L_{1}$与抛物线$L_{2}$关于$y$轴对称。

顶点也关于$y$轴对称，开口方向及大小均相同，即二次项系数相同。

$therefore $抛物线$L_{2}$的顶点为$(3$，$frac{25}{2})$，$therefore $抛物线$L_{2}$的解析式为$y=-frac{1}{2}(x-3)^{2}+frac{25}{2}=-frac{1}{2}{x}^{2}+3x+8$.故抛物线$L_{2}$的解析式为$y=-frac{1}{2}{x}^{2}+3x+8$.$(2)$如图$1$。

存在点$M$，使$triangle MNA'$与$triangle ACB'$相似.由题意得：$A'left(8,0right)$，$B'left(2,12right)$。

$Cleft(2,0right)$，$Nleft(3,0right)$，$therefore AC=10$。

$B'C=12$，$A'N=5$，$because angle A'NM=angle ACB'=90^{circ}$。

$therefore triangle A'MN$与$triangle AB'C$相似，可以分两种情况：①当$triangle AB'C$∽$triangle A'MN$时，则$frac{MN}{NA'}=frac{B'C}{AC}=frac{12}{10}=frac{6}{5}$。

$therefore MN=6$，即点$Mleft(3,-6right)$，此时。

抛物线$L_{3}$的表达式为$y=-frac{1}{2}(x-3)^{2}-6=-frac{1}{2}{x}^{2}+3x-frac{21}{2}$.②当$triangle AB'C$∽$triangle MA'N$时，同理可得：点$M(3$，$-frac{25}{6})$；此时。

抛物线$L_{3}$的表达式为$y=-frac{1}{2}(x-3)^{2}-frac{25}{6}=-frac{1}{2}x^{2}+3x-frac{26}{3}$，故：函数$L_{3}$的解析式为：$y=-frac{1}{2}x^{2}+3x-frac{21}{2}$或$y=-frac{1}{2}x^{2}+3x-frac{26}{3}$.。

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